Grigori Perelmán el matemático ex-soviético mas relevante del siglo XXI.

El matemático ex-soviético Grigory Perelman es considerado el hombre mas relevante del siglo XXI desde que reveló la solución a un problema matemático de un siglo de antiguedad, la Conjetura (ahora Teorema) de Poincaré. Rechazó la medalla Fields, el mayor premio en matemáticas (dos a cuatro medallas se conceden cada cuatro años) y rechazó un premio de un millón de dólares ofrecido por resolver la conjetura. Ahora vive humíldemente al lado de su madre en un pequeño departamento y alejado de las matemáticas.







Grigory Perelman es un genio enigmático que asombró al mundo académico cuando afirmó que había resuelto uno de los problemas más difíciles de las matemáticas. Fue candidato al equivalente al Nobel de las matemáticas por su trabajo sobre las posibles formas del universo. Pero el brillante matemático ruso desdeñó el grandioso galardón que tanto codician otros científicos.

Desde que Grigory Perelman revelara la solución en 2002 a un problema matemático de un siglo de antigüedad, se ha visto sometido a un escrutinio sin precedentes por parte de las más despiertas mentes académicas. Ninguna ha logrado encontrar un solo error.

BIOGRAFÍA

Grigori Perelmán nació en Leningrado (ahora San Petersburgo) el 13 de junio de 1966 en el seno de una familia judía. Recibió su primera educación matemática en el Liceo 239 de Leningrado, una escuela especializada con programas de matemáticas y física avanzadas. En 1982, compitiendo como miembro del equipo de la URSS en la Olimpiada Internacional de Matemática (una competencia internacional para estudiantes de bachillerato) ganó una medalla de oro, tras alcanzar la puntuación máxima. A principios de los 1980 consiguió la puntuación más alta en la prestigiosa organización para personas con elevado cociente intelectual Mensa. Al final de los años 1980, Perelmán obtuvo el grado de Candidato de la Ciencia (el equivalente ruso del doctorado) en la Facultad de Mecánica y Matemática de la Universidad Estatal de Leningrado, una de las universidades líderes de la ex Unión Soviética. Su tesis se intituló Superficies en silla en espacios euclídeos (ver citas más abajo). Era también un virtuoso violinista y jugaba al tenis de mesa.



Después de la graduación, Perelmán comenzó a trabajar en Leningrado en el renombrado Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia Rusa de las Ciencias. Sus asesores en ese instituto fueron Aleksandr Danílovich Aleksándrov y Yuri Dmitrievich Burago. Al final de los ochenta y principios de los noventa, Perelmán trabajó en varias universidades de los Estados Unidos. En 1992, fue invitado a pasar sendos semestres en la Universidad de Nueva York y en la Universidad de Stony Brook. En 1993 aceptó una beca de dos años en la Universidad de California, Berkeley. Volvió al Instituto Steklov en el verano de 1995.

CONJETURAS DE GEOMETRIZACIÓN Y DE POINCARÉ

¿Qué es la Topologia?

Es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.

¡Para aclarate!


¿Para que sirve la topología?

Observemos un antiguo plano del metro de Madrid. En él están representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen, pero no es geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro no coincide, ni su longitud a escala, ni la posición relativa de las estaciones... Pero aún así es un plano perfectamente útil. Sin embargo, este plano es exacto en cierto sentido pues representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red de metro: información topológica.



También para resolver problemas, como el problema de los puentes de Königsberg (el primer problema de topología).



POSD: Königsberg fue el lugar donde nació, vivió y murió Immanuel Kant

El problema

La conjetura de Poincaré, propuesta por el matemático francés Henri Poincaré en 1904, era el problema abierto más famoso de la topología. En términos relativamente sencillos, la conjetura indica que si una variedad tridimensional cerrada es suficientemente similar a una esfera en el sentido de que cada bucle en la variedad se puede transformar en un punto, entonces se considerará que es realmente sólo una esfera tridimensional. Por algún tiempo se ha sabido que el resultado análogo es cierto en dimensiones mayores; sin embargo, el caso de variedades tridimensionales ha resultado ser el más difícil de todos porque, hablando coloquialmente, cuando se manipula topológicamente una variedad tridimensional, hay muy pocas dimensiones para mover "regiones problemáticas" fuera del camino sin interferir con algo más.

La demostración de Perelmán

Durante ocho años, Perelman desarrolló en solitario la solución a la Conjetura de Poincaré, uno de los siete problemas matemáticos fundamentales, cuya resolución era premiada por el Instituto de Matemáticas Clay de Cambridge con un millón de dólares. Ha sido el primero en dar con la respuesta a lo que había evolucionado en una “enfermedad Poincaré”, ya que los científicos que la habían contraído al enfrentarse al problema, se dedicaron por completo a ello todo el resto de sus vidas.

Después de dos años de reticencias, pruebas, y comprobaciones, la comunidad científica no logró encontrar el fallo en su planteamiento, lo que convertía la Conjetura de Poincaré en un Teorema, y a Perelman en ganador de la Medalla Fields (equivalente a Nobel en matemáticas). La medalla le habría permitido reivindicar el premio de un millón de dólares del Instituto de Matemáticas Clay. Ante la sorpresa de todos, Perelman rechazó tanto la medalla como el dinero. Muy disgustado con la comunidad de matemáticos, y decepcionado con la práctica de investigación secreta y recelosa de sus compañeros de campo, hoy en día se niega a tener relación alguna con ellos.

En noviembre de 2002, Perelmán escribió en el arXiv el primero de una serie de artículos de libre acceso en los cuales afirmó haber descrito una demostración de la conjetura de geometrización, un resultado que incluye la conjetura de Poincaré como un caso particular.

Perelmán modificó el programa de Richard Hamilton para la demostración de la conjetura, en el cual la idea central era la noción del flujo de Ricci. La idea básica de Hamilton es formular un "proceso dinámico" en el que una variedad tridimensional dada se transforme geométricamente, de manera que este proceso de distorsión sea gobernado por una ecuación diferencial análoga a la ecuación del calor. La ecuación del calor describe el comportamiento de cantidades escalares como la temperatura; ella afirma que las concentraciones de temperatura elevada se dispersarán hasta que se alcance una temperatura uniforme a lo largo del objeto. Similarmente, el flujo de Ricci describe el comportamiento de una cantidad tensorial, el tensor de curvatura de Ricci. La esperanza de Hamilton era que, bajo el flujo de Ricci, las concentraciones de gran curvatura se dispersaran hasta alcanzar una curvatura uniforme sobre toda la variedad tridimensional. Si esto es así, comenzando con cualquier variedad tridimensional y si se usa la magia del flujo de Ricci, finalmente se obtendría cierta "forma normal". De acuerdo con William Thurston, esta forma normal debe ser una entre un pequeño número de posibilidades, cada una con un diferente sabor de geometría llamado geometrías de modelos de Thurston.

Esto es similar a formular un proceso dinámico que "perturba" gradualmente una matriz cuadrada dada y que, con toda certeza, resultará luego de un tiempo finito en su forma canónica racional.

La idea de Hamilton había atraído mucha atención pero nadie había logrado demostrar que el proceso no se "colgaría" desarrollando "singularidades"... hasta que los artículos de Perelmán bosquejaron un programa para superar estos obstáculos. De acuerdo con Perelmán, una modificación del flujo de Ricci estándar, llamado flujo de Ricci con cirugía, puede remover sistemáticamente regiones singulares a medida que se desarrollan, de manera controlada.

Se sabe que las singularidades (incluyendo las que se producen, hablando vagamente, luego de que el flujo se haya dado durante una cantidad infinita de tiempo) deben ocurrir en muchos casos. Sin embargo, los matemáticos esperan que, asumiendo que la conjetura de geometrización sea cierta, cualquier singularidad que se desarrolle en un tiempo finito esencialmente se está "apretando" a lo largo de ciertas esferas que corresponden a la descomposición en primos de la 3-variedad. Si esto es así, cualesquiera singularidades de "tiempo infinito" deben resultar de ciertas piezas colapsantes de la descomposición JSJ. El trabajo de Perelmán demuestra aparentemente esta afirmación y así demuestra la conjetura de geometrización.


En una 2-esfera, cualquier lazo puede transformarse hasta convertirse en un punto de su superficie. ¿Caracteriza esta condición la 2-esfera? La respuesta es sí, y ha sido conocida por mucho tiempo. La conjetura de Poincaré hace la misma pregunta, pero más difícil de visualizar: en la 3-esfera. Grigori Perelmán comprobó que la respuesta es afirmativa.

Una explicación más sencilla

Para comenzar vamos a dar un enunciado más o menos formal del resultado propuesto por Poincaré:

Toda 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a S3

Este enunciado se generalizó más adelante a dimensión n:

Toda n-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sn

Los casos n = 1 y n = 2 son sencillos de comprobar. Los casos n > 3 también estaban demostrados (si no me equivoco e demostró de una sola vez para n > 6 y de forma independiente para n = 4, n = 5 y n = 6). Sólo faltaba el caso n = 3, que parecía resistirse.

Una persona que no esté muy familiarizada con la Topología lee este enunciado y se queda igual que estaba (o mucho peor al darse cuenta de que no entiende nada de lo que dice el enunciado). Lo que voy a intentar es explicarlo lo más claramente posible:

Variedad: Es una generalización de curva y superficie a espacios de mayor dimensión. Una curva en el plano R2 (recta, parábola…) es una 1- variedad, una superficie en R3 (esfera, cilindro…) es una 2-variedad, y así sucesivamente. Por tanto, una 3-variedad es una objeto matemático de R4 (sí, un espacio de 4 dimensiones). Un apunte: en todos los casos se toman los bordes de la figura. Por ejemplo, cuando hablemos de la esfera estaremos considerando la superficie exterior, es decir, la parte interior no cuenta. No es una esfera maciza, es simplemente la parte externa.

Compacto: Cerrado y acotado. Las definiciones matemáticas de estos dos conceptos no nos hacen falta, nos podemos quedar con las definiciones intuitivas que todo el mundo tiene.

Simplemente conexo: Para el caso que nos ocupa nos podemos quedar con que esto significa que la variedad en cuestión no tiene agujeros. Un ejemplo para entender mejor esto: la 2-variedad S2 (la esfera tal y como todos la conocemos) es simplemente conexa, pero la 2-variedad T (un toro) no lo es, ya que tiene un agujero en medio.

Homeomorfo: La definición de homeomorfismo necesita de ciertos conocimientos matemáticos que mucha gente no tiene y que además no son importantes para el objetivo que perseguimos. Básicamente se dice que dos n-variedades son homeomorfas si son topológicamente iguales, es decir, si al estudiar ciertas propiedades en cada una de ellas resultan coincidir. Geométricamente podríamos decir que deformando una sin romperla podemos llegar a la otra. Por ejemplo, una circunferencia y una elipse (1-variedades) son homeomorfas, ya que puedo deformar cada una de ellas (sin romperlas) y transformarlas en la otra.

Y ahora vamos a intentar explicarlo geométricamente. El resultado quiere decir más o menos algo así (lo haremos con 2-variedades, es decir, figuras en 3 dimensiones, ya que éstas sí las podemos ver con facilidad):

Tenemos una esfera:


Supongamos que cogemos una cuerda, rodeamos la esfera con ella (por ejemplo por el ecuador de la misma, aunque podría ser por cualquier otro sitio) y le hacemos un nudo corredizo. Ahora tiramos del extremo de la cuerda. ¿Qué pasa?. Pues que la cuerda deslizará por la superficie y poco a poco la circunferencia que formaba al principio se hará cada vez más pequeña hasta que en la parte superior o inferior de la esfera será como un punto. Y esto pasa con cualquier curva cerrada situada en cualquier parte de la esfera. Esto es a grandes rasgos el significado de simplemente conexo.

Intentemos hacer lo mismo con un toro, 2-variedad que no es simplemente conexa:



Supongamos que situamos la cuerda rodeando el toro en perpendicular a la figura. Si tiráramos de ella no pasaría lo mismo que en el caso anterior, seguiría siendo de la misma forma y del mismo tamaño, y lo mismo ocurriría si moviéramos la cuerda alrededor del toro.

Si rodeamos el toro en paralelo a la figura y tiramos de la cuerda sí conseguiremos deformarla, pero debido al agujero que el toro tiene en medio no podremos conseguir que la cuerda llegue a ser un punto, como en el caso anterior. Cuando llegáramos al borde interno no podríamos seguir. De esta forma podemos ver que efectivamente el toro es una 2-variedad que no es simplemente conexa.

Al estar demostrada la generalización de la conjetura para n = 2 lo expuesto anteriormente nos dice que las 2-variedades esfera y toro no son homeomorfas. Es decir, que de las propiedades topológicas de una de ellas no podemos sacar información de las propiedades topológicas de la otra, debemos estudiar cada 2-variedad por separado.

Sin embargo, si por ejemplo tomamos un elipsoide



podemos ver que el experimento de la cuerda nos da los mismos resultados que los obtenidos con la esfera. Al ser también el elipsoide una 2-variedad compacta tenemos, por el (en este caso sí) teorema de Poincaré que la esfera S2 y el elipsoide son homeomorfos. Esto también se puede ver intuitivamente en este caso, ya que por ejemplo podemos deformar el elipsoide (sin romperlo) y convertirlo en una esfera.

Esto es lo que ocurre con 2-variedades. Aunque el estudio de las 3-variedades no se puede realizar igual geométricamente creo que la explicación anterior puede servir para que todo el mundo entienda de manera intuitiva el enunciado del teorema.

Y para terminar un apunte más: ¿Por qué puede ser importante un resultado así?. Pues muy sencillo. Un homeomorfismo es una cosa muy gorda. Decir que dos cosas son homeomorfas es decir que, como dije antes, son topológicamente iguales, es decir, que comparten muchas propiedades topológicas. Si el resultado es cierto comprobando que una 3-variedad es compacta y simplemente conexa sabremos muchísimas más cosas de ella, ya que las propiedades topológicas de S3 son conocidas, y al ser homeomorfas la otra 3-variedad hereda todas ellas. A simple vista puede parecer sencillo, ya que es normal pensar solamente en 3 dimensiones, es decir, en 2-variedades y en sus representaciones gráficas. El problema viene cuando queremos estudiar cosas que no podemos ver ni representar gráficamente. En estos casos si necesitamos sacar información sobre un cierto objeto y tenemos teoremas como éste el trabajo necesario para ello se reduce bastante. Además este tipo de resultados ayudan a clasificar los objetos. Ahora podemos decir que topológicamente hablando sólo hay una 3-variedad compacta y simplemente conexa: la 3-esfera S3, ya que cualquier otra 3-variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a ella.

LA MEDALLA FIELDS Y EL PREMIO DEL MILENIO

En mayo de 2006, un comité de nueve matemáticos votaron para premiar a Perelmán con una Medalla Fields por su trabajo en la conjetura de Poincaré. La Medalla Fields es el mayor premio en matemáticas (dos a cuatro medallas se conceden cada cuatro años).

Sir John Ball, presidente de la Unión Matemática Internacional, se dirigió a Perelmán en San Petersburgo en junio de 2006 para persuadirlo de que aceptara el premio. Después de 10 horas de persuasión durante dos días, se rindió. Dos semanas más tarde, Perelmán resumió la conversación así: "Él me propuso tres alternativas: acepta y ven acepta y no vengas, y te enviaremos la medalla luego; tercero, no aceptes ni vengas. Desde el principio le dije que había escogido la tercera." Siguió diciendo que el premio "era completamente irrelevante para mí. Todo el mundo entiende que, si la demostración es correcta, entonces no se necesita ningún otro reconocimiento".

El 22 de agosto de 2006 se le ofreció públicamente a Perelmán la medalla en el Congreso Internacional de Matemáticos en Madrid, "por sus contribuciones a la geometría y sus ideas revolucionarias en la estructura analítica y geométrica del flujo de Ricci". No asistió a la ceremonia y declinó la medalla.

Él había rechazado previamente un prestigioso premio de la Sociedad Matemática Europea, y al parecer dijo que sentía que el comité del premio no estaba cualificado para evaluar su trabajo, incluso positivamente.

Perelmán también debe recibir una parte del premio del milenio (probablemente compartido con Richard Hamilton). Aunque no ha buscado una publicación formal de su demostración en una revista de matemáticas con revisión por pares, como requieren las reglas del premio, muchos matemáticos piensan que el escrutinio al que se ha visto sujeto su bosquejo excede la revisión implícita en una revisión por pares normal. El Clay Mathematics Institute ha dicho explícitamente que el consejo que concede el premio puede cambiar los requisitos formales, en cuyo caso Perelmán sería elegible para recibir parte del premio.

El 18 de marzo de 2010, Perelman ganó el premio del milenio por resolver el problema. Rechazando también este premio. Anteriormente, Perelman había dicho que "no voy a decidir si acepto el premio hasta que sea ofrecido".

En juego está mucho más que una aclamación profesional. En el año 2000, el Instituto Clay de Boston, una organización de investigación matemática privada, estableció los siete 'problemas del Milenio', cada uno de ellos con una recompensa de un millón de dólares para quien los solucione. Perelmán, rechazó la aclamación profesional.





RETIRADO EN LAS MATEMÁTICAS

La conjetura de Poincaré es una cosa, y el dinero, en el que Perelman no tiene interés, otra. "Corren muchas bromas que sugieren que tener un millón de dólares en San Petersburgo es peligroso", comenta Hitchin.

Desde la primavera de 2003, Perelman no trabaja en el Instituto Steklov. Se dice que sus amigos han afirmado que actualmente encuentra las matemáticas un tema doloroso de discusión; algunos dicen incluso que ha abandonado las matemáticas por completo.

La generosidad de Perelman y la confianza en publicar su trabajo en Internet le costó una mala pasada. El conflicto empezó cuando dos matemáticos chinos, Zhu Chiping y Cao Huaidong alegaron haber resuelto la conjetura y posteriormente fueron acusados de clonar la fórmula desde la web.

Aunque Perelmán dice en un artículo en The New Yorker que está decepcionado de los estándares éticos del campo de las matemáticas, el artículo implica que Perelmán se refiere particularmente a los esfuerzos de Yau por aminorar su papel en la demostración y exaltar el trabajo de Cao y Zhu. Perelmán ha dicho que "no puedo decir que estoy indignado. Otras personas hacen cosas peores. Por supuesto, hay muchos matemáticos que son más o menos honestos. Pero de ellos, casi todos son conformistas. Son más o menos honestos, pero toleran a quienes no son honestos". También ha dicho que "no es la gente que rompe los estándares éticos quienes se consideran extraños. Es gente como yo quienes son aislados".

Esto, combinado con la posibilidad de ser premiado con una medalla Fields, hizo que renunciara a la matemática profesional. Ha dicho que "mientras no era conspicuo, tenía elección. Incluso de hacer algo feo" (un escándalo sobre la falta de integridad de la comunidad matemática) "o, si no hiciera esta clase de cosas, de ser tratado como una mascota. Ahora, cuando me he vuelto una persona muy conspicua, no puedo ser una mascota y decir nada. Por esto tuve que renunciar".

El profesor Marcus du Sautoy de la Universidad de Oxford ha dicho que "se ha aislado de cierta manera de la comunidad matemática. Se ha desilusionado de las matemáticas, lo cual es muy lamentable. No está interesado en el dinero. El gran premio para él es demostrar su teorema."

Actualmente está retirado de las matemáticas. Las últimas noticias que se tenían de él era una foto suya tomada el 20 de junio de 2007 en el metro de San Petersburgo. Sin embargo, en abril de 2011 concedió una entrevista.